Laplace-Transformation und lineare Differentialgleichungen
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Die traditionelle Theorie der
Laplace-Transformation (TLT), deren gegenwärtig vorherrschende
Form von Gustav Doetsch
entwickelt wurde, ist in fundamentalen Belangen unzureichend [70], [71], [77], [107].
Die TLT wurde als eigenständige
mathematische Theorie bezeichnet, und es wurde behauptet, dass dieselbe
die strenge Begründung der Operatorenmethode
zur Lösung von linearen Differentialgleichungen
darstelle. Diese Behauptung erweist sich als unhaltbar.
Weil das Transformationsintegral der LT "unilateral" ist, indem es sich
von t=0 nach t->+oo erstreckt, ist die
L-Transformierte L[f(t)} einer reellen Funktion f(t) unabhängig
vom Verlauf dieser Funktion im Intervall t<0. In der TLT
wird fälschlicherweise unterstellt, dass der Bereich t<0
auch dann irrelevant sei, wenn die LT zur Lösung von linearen
Dgln benutzt wird. Diese Annahme ist ein schwerwiegender Irrtum.
Um zu verstehen, was hier gemeint ist, braucht man nur eine inhomogene
Dgl erster Ordnung mit der Erregungsfunktion
(Störfunktion) x(t)=const nach der konventionellen
Theorie der linearen Dgl zu lösen und die Lösung mit
derjenigen zu
vergleichen, die man mit der TLT-Methode erhält. Die beiden
Lösungen sind erheblich
voneinander verschieden. Der
Unterschied ergibt sich hauptsächlich daraus, dass die mit LT
gewonnene Lösung nicht zur Erregungsfunktion
x(t)=const
gehört, sondern zu x(t)=const u(t), wobei u(t) die
Einheitssprungfunktion bezeichnet: u(t)=0 für t<0;
u(t)=1 für t>0. Die
Diskrepanz der beiden Lösungen verschwindet auch im Intervall
t>0 keineswegs.
Die Diskrepanz geht darauf zurück, dass L-Transformierte, ebenso
wie Fourier-Transformierte, t-Funktionen repräsentieren,
welche
im gesamten Bereich -oo<t definiert
sind, wobei die durch eine L-Transformierte repräsentierte
t-Funktion stets kausal ist. (Dem
üblichen Sprachgebrauch folgend
wird eine Funktion f(t) als kausal bezeichnet, wenn f(t)=0 für
t<0.) Der Unterschied zwischen
einer bilateralen
Funktion f(t) und ihrer kausalen Variante u(t)f(t) wird durch
L-Transformation zum Verschwinden gebracht, weil
L{f(t)}=L{u(t)f(t)}. Die Rücktransformierte von L{f(t)} ist
für t<0 stets gleich 0. Daher ist die Rücktransformierte
stets gleich
u(t)f(t).
In diesem Sinne repräsentiert die L-Transformierte von
f(t) stets die kausale Funktion u(t)f(t), unabhängig davon, ob f(t)
selbst kausal ist oder nicht. (Falls f(t) selbst kausal ist, gilt
u(t)f(t)=f(t) [107].).
Mittels LT kann man die korrekte
Lösung einer inhomogenen Dgl
ausschließlich für kausale Erregungsfunktionen erhalten
Die mittels LT ermittelte Lösung der inhomogenen linearen Dgl geht
in jedem Falle aus derjenigen Erregungsfunktion
hervor, welche durch L{x(t)} repräsentiert wird, nicht ohne
weiteres aus x(t) selbst. Weil die korrekte Lösung der Dgl
für eine
bilaterale Erregungsfunktion sich von derjenigen für eine kausale
Erregungsfunktion unterscheidet, kann die mit LT gewonnene
Lösung einzig und allein mit u(t)x(t) kompatibel sein. Falls man
also Wert darauf legt,
dass die Lösung korrekt ist, muss man
die
Anwendung der LT auf Dgln
mit kausalen Erregungsfunktionen beschränken. Somit kommt dem
Unterschied zwischen
bilateralen
und kausalen Erregungsfunktionen - und damit dem Verhaltenen von x(t)
für t<0 - entscheidende Bedeutung zu.
Die Tatsache, dass kausale Funktionen im Zusammenhang mit LT eine
besondere Rolle spielen, wurde im Bereich der TLT
zwar
nicht vollständig übersehen; sie hat aber kaum Beachtung
gefunden. Die TLT ist weit davon entfernt, die soeben
beschriebenen Implikationen der LT klar erkannt
zu haben - ganz zu schweigen vom Versuch, daraus Konsequenzen zu
ziehen.
Die TLT ermangelt der mathematischen Infrastruktur, welche zur
adäquaten Berücksichtigung des Unterschieds zwischen
bilateralen und kausalen Funktionen erforderlich ist. Die TLT, welche
eine unilaterale Theorie der unilateralen LT darstellt,
muss daher durch die bilaterale Theorie der unilateralen LT
ersetzt werden [107]. (Die letztere
Theorie darf nicht mit der
bekannten Theorie der
"zweiseitigen" LT verwechselt werden.)
Die evozierte Antwort ist eine kausale
Funktion
Die Tatsache, dass die durch L{x(t)} repräsentierte effektive
Erregungsfunktion stets kausal ist, hat die Konsequenz, dass
auch der Beitrag, den x(t) zur Gesamtlösung der Dgl leistet -
die evozierte
Antwortfunktion - eine kausale Funktion ist. Dies
wiederum hat zur Folge, dass die Übersetzung der inhomogenen Dgl
in den L-Bereich durch das Ableitungstheorem für
kausale Funktionen beherrscht wird. Dieses Theorem
unterscheidet sich vom Ableitungstheorem der TLT insofern, als es
keine Konstante enthält. Wenn man daher die Dgl mit dem
Ableitungstheorem für kausale Funktionen in den L-Bereich
übersetzt, so entsteht zwangsläufig eine lineare algebraische
Gleichung für die L-Transformierte der evozierten
Antwortfunktion. Die separate evozierte Lösung der
ursprünglichen Dgl ergibt sich also allein dadurch, dass man auf
die
ursprüngliche inhomogene Dgl das Ableitungstheorem für
kausale Funktionen anwendet [107].
Die Methode zur Lösung von linearen Differentialgleichungen
Auf der Basis der evozierten Lösung, deren Gewinnung mittels LT
soeben skizziert wurde, erhält man die Gesamtlösung
der Dgl (die allgemeine Lösung) einfach durch Addition der
allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Dgl.
Die
neue Methode, welche in [107}
beschrieben ist, gehorcht deshalb strikt dem Prinzip, wonach die
allgemeine Lösung der
inhomogenen Dgl durch Überlagerung einer partikulären
Lösung der
inhomogenen Dgl mit der allgemeinen Lösung der
zugehörigen homogenen Dgl entsteht. (Die TLT
verstößt unvermeidlich gegen dieses
fundamentale Prinzip.)
Im folgenden wird die neue Methode in gedrängter Form dargestellt,
und zwar für die inhomogene Dgl
a0y(t) + a1y'(t )+ a2y''(t) + ... + aNy(N)(t)
= b0x(t) + b1x'(t) + b2x''(t) + ... + bMx(M)(t).
(1)
x(t) bezeichnet die Erregungsfunktion (Störfunktion); y(t)
bezeichnet die Antwortfunktion. Die Koeffizienten an, bm
seien
reelle Konstanten. N gibt die höchste auftretende Ableitung der
Antwortfunktion an (N = 1, 2, ...); M die höchste Ableitung
der Erregungsfunktion (M = 0, 1, ...)
Die evozierte Lösung
In [107]
habe ich beschrieben, dass (und warum) die evozierte Antwortfunktion ye(t),
die zu irgend einer Dgl der Form (1)
gehört, durch die
Formel
ye(t} = L-1{ L{x(t)}B(s)/A(s) };
-oo < t
(2)
dargestellt wird. Darin steht der Operator L-1 für
Rücktransformation. A(s) und B(s) sind Polynome der Form
A(s) = a0 + a1s +
a2s2 + ... + aNsN
(3)
B(s) = b0 + b1s + b2s2
+ ... + bMsM.
(4)
In der Mehrzahl der Anwendungen dürfte nur die evozierte
Lösung von Interesse sein. In diesem Fall beschränkt sich die
Prozedur auf (a) die L-Transformation der Erregungsfunktion und (b) die
Rücktransformation des gemäß (2) entstehenden
Ausdrucks. Das Verfahren ist einfach, und es genügt eine
oberflächliche Kenntnis der
Theorie der LT. Allerdings kann sich
die Rücktransformation im Einzelfall als ebenso schwierig
erweisen, wie dies von der TLT her bekannt ist. Jedoch kommt
man in einer beträchtlichen Zahl von Fällen mit einer guten
Tabelle der LT-Korrespondenzen aus.
Wenn man eine solche Tabelle benutzt, muss man besonders beachten,
dass die Rücktransformierte stets eine kausale
Funktion ist. Das bedeutet, dass die meisten der t-Funktionen mit u(t)
multipliziert werden müssen. Ausnahmen von dieser
Regel bilden beispielsweise die Einheitssprungfunktion u(t) sowie deren
(Pseudo-)Ableitungen, weil dies von vorn herein
kausale Funktionen sind.
Das Verfahren sei am Beispiel der Dgl
ay(t) + y'(t) = u(t)
(5)
verdeutlicht. (Man beachte, dass u(t) eine kausale Funktion ist.) Nach
(2-4) lautet die evozierte Lösung von (5)
ye(t) = L-1{ 1/[s(a+s)] } = u(t)[1-exp(-at)]/a
;
-oo <
t. (6)
(Die korrekte Darstellung kausaler Funktionen wie ye(t) im
Punkt t=0 setzt voraus,
dass u(t) in diesem Punkt definiert ist;
vgl. [107].)
Man beachte, dass sich aus (2) genau die gleiche Lösung (6)
ergibt, wenn man in (5) u(t) durch die Konstante 1 ersetzt. Das
liegt daran, dass L{1}=L{u(t)}=1/s. Für die Erregungsfunktion
x(t)=1 ist diese Lösung aber falsch. Die korrekte evozierte
Lösung lautet für diesen Fall ye(t)=1/a.
Die spontane Lösung
Wenn man von der ursprünglichen inhomogenen Dgl (1) die
entsprechende Dgl für die evozierte Antwortfunktion
subtrahiert, so bleibt die zugehörige homogene Dgl übrig. Die
allgemeine Lösung der homogenen Dgl wird durch die
sogenannte spontane Antwortfunction ys(t) dargestellt. Die
spontane Antwort ist die "Antwort auf nichts" des zugehörigen
linearen Systems. Wie üblich, wird die spontane Antwort auf einen
vorerregten Anfangszustand des Systems zurückgeführt,
das heißt, einen Zustand, welcher nicht
durch x(t) verursacht ist.
Der derart definierte Anfangszustand eines linearen Systems hat keinen
Einfluss auf die evozierte Antwort. Deshalb ist die
Ermittlung der spontanen Lösung (zusätzlich zur evozierten
Lösung) optional. Sie ist nur erforderlich, wenn die spontane
Antwort für sich genommen von Bedeutung ist.
Wei die Bestimmung der spontanen Lösung vollkommen unabhängig
von derjenigen der evozierten Lösung ist, kann für die
Ermittlung der spontanen Lösung jede verfügbare mathematische
Methode benutzt werden. In [107] habe ich
eine neue,
auf der LT basierende Methode beschrieben, welche die allgemeine
Lösung der linearen homogenen Dgl liefert. Die damit
gewonnene spontane Lösung lässt sich ebenfalls durch eine
Formel
ausdrücken. Diese lautet
u(t)ys(t) = L-1{ C(s)/A(s) };
-oo < t.
(7)
worin A(s) das Polynom (3) bezeichnet, und C(s) ein Polynom der Form
C(s) = c0 + c1s + c2s2 +
... + cN-1sN-1
(8)
ist. Die Koeffizienten cn von C(s) sind beliebige
Konstanten.
Jede Kombination von Werten dieser Konstanten definiert
einen der möglichen Anfangszustände des Systems.
Die spontane Antwortfunktion, das heißt, die Lösung der
homogenen Dgl endlicher Ordnung N, ist stets eine gewöhnliche
differenzierbare (bilaterale) Funktion. Andererseits ist die
Rücktransformierte stets eine kausale Funktion. Dies ist der
Grund dafür,
dass man durch Rücktransformation des in (7) auf der rechten Seite
stehenden Ausdrucks zunächst die kausale
Funktion u(t)ys(t)
erhält, anstelle von ys(t) selbst. Weil jedoch bekannt
ist, dass ys(t) eine
gewöhnliche bilaterale Funktion ist,
kann man diese vollständig gewinnen,
indem man die "Kausalität" der Rücktransformierten
rückgängig macht. Das kann
formal dadurch geschehen, dass man in (7) nach
erfolgter Rücktransformation den "Faktor" u(t) herauskürzt.
Zum Beispiel wird die spontane Antwortfunktion der Dgl (5) durch den
Ausdruck
u(t)ys(t) = L-1{ c0/(a+s) } = u(t)c0exp(-at)
(9)
bestimmt. Die spontane Antwortfunktion selbst lautet daher
ys(t) = c0exp(-at);
-oo <
t.
(10)
Die allgemeine Lösung
Weil die allgemeine Lösung von (1) gleich der Summe der evozierten
und spontanen Lösungen ist, sind die N Konstanten
der spontanen Lösung zugleich die Konstanten der allgemeinen
Lösung. Damit stellt die Summe
y(t) = ye(t) + ys(t)
(11)
die wirkliche allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl (1) dar, und
diese Lösung gilt für den gesamten t-Bereich.
Das durch (11) ausgedrückte Überlagerungsprinzip gilt zwar
für beliebige Erregungsfunktionen der Dgl; aber wenn
ye(t) durch LT gewonnen wird, gilt die Lösung nur
für kausale Erregungsfunktionen, wie eingangs betont.
Die allgemeine Lösung der Dgl erster Ordnung (5) lautet nach (11)
mit
(6) und (10)
y(t) = u(t)[1-exp(-at)]/a + c0exp(-at);
-oo < t.
(12)
Die Konstanten
Wie in [107] dargestellt, stehen die
Koeffizienten des Polynoms C(s) in einem wohldefinierten linearen
Zusammenhang
mit den Koeffizienten der homogenen Dgl sowie mit den Anfangswerten der
spontanen Antwortfunktion. Dieser
Zusammenhang
wird durch die Ausdrücke
c0 = a1ys(0) + a2ys'(0)
+ ... + aNys(N-1)(0);
c1 = a2ys(0) + a3ys'(0)
+ ... + aNys(N-2)(0);
. . .
cN-2 = aN-1ys(0) + aNys'(0);
cN-1 = aNys(0)
(13)
beschrieben. Was die allgemeine Lösung der Dgl angeht, so
hat
man damit die Wahl, entweder die Koeffizienten cn
unmittelbar als willkürliche Konstanten zu behandeln, oder
die Anfangswerte ys(0), ys'(0) etc.
vorzuschreiben.
Im letzteren Fall ergeben sich die Konstanten c0....cN-1
aus (13).
Für das vorliegende Beiepiel, das heißt, die allgemeine
Lösung (12) von (5), ergibt sich c0=ys(0).
Vergleich mit der Lösung nach TLT
Die Lösung der Dgl (5), welche man mit der TLT-Methode
erhält, lautet
y(t) = [1-exp(-at)]/a + y(0)exp(-at)
für t >
0.
(14)
Sie stimmt mit (12) bis auf die Konstante und das
Definitionsintervall überein. Man könnte
also meinen, dass die TLT im
Großen und Ganzen jedenfalls für t>0 die korrekte
Lösung liefere, falls man eine
kausale Erregungsfunktion voraussetzt.
Aber diese Schlussfolgerung
wäre falsch. Die Konstante y(0) - der Anfangswert der
Gesamtlösung y(t)
- ist der Konstanten
c0=ys(0) von (12) keineswegs äquivalent. Der
Unterschied wird durch (11) ausgedrückt.
Daraus kann in den Anwendungen
der TLT der sogenannte Anfangswertkonflikt entstehen [107].
Author: Ernst Terhardt terhardt@ei.tum.de
- Feb 2007
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